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By Bieri R.

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Le lemme 3 montre alors que les fonctions rationnelles sur E forment une k-alg`ebre not´ee k(E). Soient f et g deux applications rationnelles de E dans F et F dans G respectivement ; si l’ouvert f −1 (D(g)) est partout dense dans E, il existe une application rationnelle bien d´efinie g ⊙f par la condition (g ⊙f )(x) = g(f (x)) chaque fois que f (x) et g(f (x)) sont d´efinis. Lorsque h est une application rationnelle de G dans H, si h ⊙ (g ⊙ f ) et (h ⊙ g) ⊙ f sont tous deux d´efinis, ils sont ´egaux et on peut les noter h ⊙ g ⊙ f .

Pour que f soit ′ r´eguli`ere de F dans E k , il faut et il suffit d’apr`es la proposition 4 que pour toute carte ϕ : U → ΩA de E, l’application iA ◦ ϕ ◦ f de f −1 (U ) dans ΩA′ soit r´eguli`ere. e. que f est un homomorphisme de OF dans OE . D. On notera que si U est un ouvert affine de E, les fonctions r´eguli`eres sur ′ l’ouvert U de E k sont les combinaisons lin´eaires `a coefficients dans k ′ des ´el´ements de OE (U ). 20 2. Sch´emas des vari´et´es alg´ebriques ′ La topologie sur E d´efinie par la structure de E k s’appellera la k ′ topologie de E.

A1 ⊗ k ′ ). Il est clair que si l’on plonge A1 ⊗ A2 (resp. A1 ⊗ k ′ ) dans k(E1 ) ⊗ k(E2 ) (resp. k(E1 ) ⊗ k ′ ), l’id´eal a (resp. b) est engendr´e par a0 (resp. b0 ). Le corollaire 2 r´esulte alors imm´ediatement du corollaire 1. Corollaire 3. – Soit E un ensemble alg´ebrique. Pour que E soit irr´eductible (resp. absolument irr´eductible), il faut et il suffit que k(E) soit un corps (resp. un corps extension primaire de k). Pour que l’alg`ebre semi-simple k(E) soit absolument semi-simple, il faut et il suffit que, pour tout ouvert U de E, toute famille fi ∈ OE (U ) (1 ≤ i ≤ n) lin´eairement ind´ependante sur k soit lin´eairement ind´ependante sur K.

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by Joseph

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