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By Hans Kurzweil

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Dies kann n ¨amlich entschieden werden, wenn man die Ableitung A des Polynoms A heranzieht. Sei i ∈ N0 . Im Ko¨rper F bilden wir die Zahl i := 1 + · · · + 1 , i 54 1 ∈ F; dabei ist 0 = 0 ∈ F, 1 = 1 ∈ F. Offenbar gilt in F i + j = i + j. In Kap. 10 bezeichnen wir i mit ψ(i) und erl¨autern den dazugeh¨origen Formalismus genauer. Wir definieren eine lineare Abbildung δ : F[X] → F[X] (Derivation) , indem wir sie zun¨achst auf der Basis X i , i ∈ N0 , des Vektorraums F[X] erkl¨aren  i=0  0 i fu¨r δ(X ) := ,  i−1 iX i∈N und dann linear fortsetzen: Fu¨r A = ai δ(X i ) = δ(A) := i≥0 i≥1 i ai X i ∈ F[X] sei ai i X i−1 = a1 + 2 a2 X + 3 a3 X 2 + · · · Man schreibt A = δ(A) und nennt A die Ableitung von A.

H. 9). Nun gilt eine Beziehung, die analog zu der Regel von de l’Hospital im Fall F = R ist. 8: C = A ·B +A·B C (λ) = A (λ)B(λ) + A(λ)B (λ) Wegen B(λ) = 0 folgt die Behauptung. Meistens ist es eine mu¨hevolle Aufgabe, die Nullstellen eines Polynoms A zu bestimmen, sofern grad A > 2 . Im Fall F = R gibt es dafu¨r einige Verfahren, sie funktionieren meistens nur n¨aherungsweise. Liegt ein endlicher K¨orper F vor, so gibt es – sofern A nicht von vornherein ein Produkt von echten Teilern ist – eigentlich nur die brutale Methode, alle Zahlen A(λ), λ ∈ F , zu bestimmen.

Wegen det Ci Di Ci+1 Di+1 = Ci · Di+1 − Di · Ci+1 ist dann T auch ein Teiler dieser Determinante im Widerspruch zu (8). Insbesondere sind die Polynome P = Ce und Q = De teilerfremd. 4. Wir rechnen zwei Beispiele, zun¨achst eines im Ring Z. Es seien n = 633 und a = 270 wie auf Seite 44. START D1 D2 D3 D4 D5 633 270 93 84 9 = = = = = 2 · 270 + 93 2 · 93 + 84 1 · 84 + 9 9·9+3 3·3 c0 = 0 , d0 = 1 c1 c2 c3 c4 c5 , , , , , =1 = 2·1+0 =2 = 1·2+1 =3 = 9 · 3 + 2 = 29 = 3 · 29 + 3 = 90 d1 d2 d3 d4 d3 Also ist ggT(633, 270) = 3 und kgV = 90 · 633 .

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Algebra I.K. by Hans Kurzweil


by Christopher
4.3

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